Equação do 2° Grau

Equação do 2° Grau

A, b e c são coeficientes
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numéricos - eles acompanham a incógnita. Veja o exemplo:3x2 + x - 47 = 0Tente identificar os coeficientes numéricos que acompanham x.A = 3B = 1C = -47Lembre que o coeficiente A sempre acompanha a incógnita que está elevada ao quadrado (x2), enquanto o coeficiente B acompanha a incógnita elevada a um (x) - note que um número elevado a um resulta nele mesmo - e o coeficiente C acompanha a incógnita elevada a 0 (x0). Atente para o fato de que um número elevado a zero é igual a um (41830 = 1), portanto em uma multiplicação pode ser omitido. Assim, em vez de escrevermos -47x0, escrevemos simplesmente -47, porque não importa o que seja x, se ele estiver elevado a zero vai resultar em um. Agora, vamos resolver essa equação pela fórmula quadrática (conhecida apenas no Brasil como Fórmula de Bháskara, embora não possamos atribui-la a ele).Fórmula quadrática:x = -b ± (b2 -4ac)1/2 _____________ 2aNote que eu optei por colocar o Δ (lê-se delta) - b2 -4ac - elevado a 1/2 (um meio). Isso equivale a extrair-lhe a raiz quadrada. Fiz isso porque o site não oferece a opção de raiz. Veja:91/2= 3 (raiz quadrada de 9)(91/2)2 = 329 = 9 Comprovamos a igualdade da equação, e portanto verificamos que um termo elevado a 1/2 (um meio ou metade) é igual a sua raiz quadrada.O símbolo ± significa mais ou menos ( + ou - ). Por exemplo: ± 9 pode ser ou 9 ou - 9. Outra coisa: note que o traço abaixo do numerador da fórmula significa divisão.Você já pode ter uma idéia do que iremos fazer para resolver essa equação de segundo grau. Precisamos substituir os valores de A, B e C na fórmula. Vamos resolver um exemplo. A fins didáticos, seguimos uma certa ordem. 1) Encontramos o Δ (lê-se delta) - b2 - 4ac. 2) Depois, tiramos a raiz quadrada dele (ou o elevamos a 1/2, dá no mesmo como já comprovamos). 3) Depois, substituímos os valores de a, b, c e raiz de Δ na fórmula quadrática e encontramos o(s) valor(es) de x. Exemplo:x2 - 5x + 6 = 0Os valores de A, B e C são respectivamente 1, -5 e 6.1) Agora é só achar o delta Δ.Δ = b2 - 4ac = 25 -4.1.6 = 25 - 24 = 12) Depois, obtém-se a raiz do Δ.Δ1/2 = raiz de 1 = 13) Agora vamos fazer o resto.x = -b ± (b2 -4ac)1/2 _____________ 2aFazemos x = -b ± 1 ______ 2ao que dá 5 ± 1x= _____ 2Agora devemos ter dois resultados, ou seja, x pode ser duas coisas.Ou é (5 + 1) : 2, o que dá 3, ou é (5 - 1) : 2, que resulta em 2. Ambos os resultados são possíveis. Pronto, a equação está resolvida porque você achou as duas raízes.Há mais algumas coisas:Quando o Δ for negativo, não haverá raízes reais da equação.Quando o Δ for positivo, haverá duas raízes reais e diferentesQuando o Δ for 0, haverá duais raízes reais e iguais (uma só raiz, portanto)Essa equação que você resolveu (x2 - 5x + 6 = 0) é completa, porque há x2, x1 e x0. Numa equação não-completa de segundo grau, você não teria ou o x1 ou o x0, mas tem que ter o x2, porque senão a equação deixará de ser do segundo grau.Veja alguns exemplos de equações incompletas do segundo grau:7x2 - 3 = 03x2 - 4x = 0Você pode resolvê-las por Bháskara, colocando o termo que está faltando como 0 (por exemplo, na primeira equação, B seria 0, e na segunda, C seria 0) e substituindo na fórmula. Porém, é mais fácil resolvê-las de outra maneira.- Quando falta o termo B (ou seja, só há os termos A e C) então você deve isolar a incógnita.7x2 - 3 = 07x2 = 3x2 = 3/7x = ± (3/7)1/2Muito importante: o uso do ± (mais ou menos) assegura que haverá duas respostas reais e opostas (3 e -3, 4 e -4, 9 e -9, etc.).- Quando falta o termo C (ou seja, só há os termos A e B) então você precisa fazer uma fatoração.3x2 - 4x = 0x . (3x - 4) = 0 x = 0 ou 3x - 4 = 0Por que esse raciocínio é válido?a . b = 0a = 0 ou b = 0Quando se tem uma multiplicação que totaliza 0, então um dos fatores tem que necessariamente ser 0. Então x = 0 ou x = 4/3 (quatro terços)Mais uma coisa:As equações completas de segundo grau (algumas, não todas) podem ser resolvidas pela fatoração chamada soma e produto, mas a vantagem da fórmula quadrática é que ela funciona SEMPRE, e fatoração só algumas vezes.Há muitos tipos de equações do segundo grau: equações fracionárias do segundo grau, equações do segundo grau irracionais, equações biquadradas, mas você já sabe a maior parte, que é resolver uma equação do segundo grau simples, completa ou incompleta.